닥터스터디

삼각형의 외심

오늘은 삼각형의 외심에 대해

포스팅할게요~~~

먼저 , 인강으로 보실 학생분들을 위해

인강 올립니다~

<<인강교재 다운로드>>

225-삼각형의 외심-학생용.pdf

※교재 저작권 공지 : 본 교재는 편집 또는 수정, 일부 캡쳐 등을 하지 않고 원본 파일을 사용하시는 경우에 항하여 출력, 배포, 학교 및 학원, 교습소,  과외, 스터디 모임 등에서의 사용을 자유롭게 하실 수 있습니다. (본 PDF교재는 프린트 속성에서 한페이지에 2면, 가로 복사로 설정하셔야 A4용지에 적절한 사이즈로 출력이 됩니다.)

<<인강 듣기 01강>>

<<인강 듣기 02강>>

삼각형의 외심은 외심 이라는 단어 자체에 의미가 들어가 있습니다.

외심 = 외접원의 중심 !!!!!

외접원이란 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원을 의미하구요. 이것은 삼각형의 입장에서(관점에서)의 용어입니다. 같은 상황에서 원의 입장에서 삼각형을 바라보면 "내접삼각형"으로 불러야겠죠~ 그러나, 중학교 수학에서는 외심이 외접원의 중심이고 외접원이란 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원이라는 것만 정확히 알고 계시면 된답니다~~

삼각형의 외심의 위치는요~

1. 예각삼각형일 때는 삼각형 내부에

2. 직각삼각형일 때는 빗변의 중심 = 외심

3. 둔각삼각형일 때는 삼각형의 외부에 생긴답니다.

삼각형의 외심은 세 꼭짓점을 지나는 원의 중심이므로 외심과 삼각형의 세꼭짓점을 이은 선은 외접원의 반지름이 되는 거니까 셋의 길이는 모두 같구요. 이 세 반지름에 의해 삼각형이 세 개의 삼각형으로 분할되는데, 반지름 길이가 모두 같기 때문에 이것은 이 세 삼각형이 모두 이등변삼각형이 됩니다. 외심에서 삼각형의 각 변에 수선을 내리면 위의 세 삼각형이 다시 각각 반반으로 나뉘어지는데, 수선을 중심으로 양쪽의 두 직각삼각형은 이등변삼각형의 밑각이 같다는 사실 때문에 RHA합동이 됩니다.

그러면, 이제부터는 외심에 의해 나타나는 각의 특징을

활용해보도록 하겠습니다.

대부분의 기본서나 문제집에서는 이 내용을

"외심의 활용"이라는 별도의 단원으로

예각삼각형 일 때만 다루지만,

본 포스팅에서는 직각삼각형과 둔각삼각형에서도

유사한 성질이 있는지 까지도 체크해보겠습니다.

먼저 예각삼각형에서는 외심에 의해 생긱는 각에서 2가지의 특징이 확인됩니다.

첫째, 삼각형의 한 내각은 외심 뒤쪽으로 나타나는 각의 크기의 절반이라는 것

둘째, 외심과 반지름을 이용하여 삼각형을 셋으로 쪼개면 세 삼각형은 이등변삼각형이기 때문에 세 삼각형의 밑각 하나씩을 더하면 그 값이 90도라는 것

실제 문제를 풀 때는

외심에 의해 삼각형을 세 개로 쪼갤 때

첫째, 세 삼각형이 이등변삼각형이라는 것과

둘째, 삼각형의 두 내각의 합은 나머지 한 내각에 대해 나타나는 외각의 크기와 같다는 것

이 두 사실을 잘 활용하면 굳이 위의 내용을 기억하고 있지 않더라도 문제를 어느 정도는 풀수 있습니다. 하지만, 정확히 외우고 있다면 중간/기말 시험 등을 더 잘 볼 수 있겠죠?

그리고 우리 학생들~

지금 배운 외심과 다음에 배우게 될 내심은 고3 때까지 모든 수학 시험에서 매우 중요하게 다루는 부분이니, 열심히 공부하고 잘 기억해두세요~

오늘은 여기서 포스팅을 마치구요. 다음에 더 좋은 수업과 교재로 만날 수 있도록 준비하겠습니다~ 스터디툴즈 수학이었습니다. 바이바이~!!!

각의 이등분선의 성질

안녕하세요~

오늘은 각의 이등분선의 성질에 대해서 포스팅하겠습니다.

먼저, 인강으로 보실 학생들을 위해

인강 듣기와 교재를 먼저 올릴게요~

<<인강 듣기>>

<<교재 다운로드>>

215-각의 이등분선의 성질-학생용.pdf

먼저 각의 정의를

정확히 알아야하는데요

각

두 반직선으로 이루어진 도형

각의 크기

두 반직선이 벌어진 정도를 도(º) 단위로 

하지만 !!!

수학에서는 관행적으로

각 = 각의 크기

로 사용하는 것이

허용되고 있습니다.

마치

머리카락 깎으러 갈 때

"머리 깎으러 가요~"라고 하면

머리 = 머리카락이

되는 것처럼요~

그러면 각의 이등분선이란

각(각의 크기)를 이등분하여

그은 반직선으로 정의되어 있는데요

(1)

각의 크기가 예각(0도<각<90도)일 때

이 반직선 위의 임의의 점에서

각을 이루는 두 반직선 쪽으로의 거리(=수선)는

서로 같습니다.

그 이유는 바로

수선을 그은 후 생기는

두 직각삼각형이 RHA합동이기 때문인데요

이것은 역으로(고교 과정에서는 역명제)도 성립합니다.

즉, 두 반직선으로부터 수직으로 동일한 길이의 선분을 그어

그 끝부분이 서로 만나면 그 점은

각의 이등분선 위에 있다라는 것입니다.

(2)

각의 크기가 둔각(0도<각<90도)일 때

이때는 위와 비슷한 원리로

두 개의 합동인 직각삼각형이 생기는데요

빗변이 같다는 명확한 근거가 없는 상황이기 때문에

ASA합동으로 보아야 합니다.

각의 이등분선을 이용하여

시험에 출제하는 대표적인 3가지 도형이 있는데요~

이 내용은 위의 <<강의 보기>>를 통해 확인해주세요~

그럼 오늘도 우리 학생들

열공하시고~

미래를 위해 전진하시는

우리나라의 소중한 인재들이 되시길 바라며

오늘은 그만..

 휘리릭~!!!!

필요조건과 충분조건

오늘은 필요조건과 충분조건에 대한

포스팅을 하겠습니다~

먼저 인강으로 들으실 학생들과

교재가 필요한 학생들을 위해

올린 후에 포스팅을 이어갈게요~

<<인강 듣기>>

<<교재 다운로드>>

270-필요조건과 충분조건-학생용.pdf

이제 여기부터는

포스팅을 다시 이어갑니다~^^*

p이면 q이다

라는 명제가 참일 때

이 명제가 성립하기 위하여

p는 충분한 조건이다 (충분조건)

q는 반드시 필요한 조건이다 (필요조건)

라는 용어를 사용합니다.

우리 말로는 "유리수"같은 용어처럼

최초의 설정한 용어가

와닿는 말과는 조금 먼 경우인데요

이런 경우에는

용어를 그냥 암기하는 것이

더 효율적인 공부방법입니다.

((암기방법))

거의  모든 참고서에 나오는

대한민국  대표암기방법입니다~!!!

(당췌 누가 시작했는지 아무도 모름 *^^*)

참인 명제 p이면 q이다  에서  ( p → q )

p는 q에 대해 충분조건 (출발~~~ 화살표가...)

q는 p이기 위해 꼭 필요한 조건 (피난다....화살표 맞아서...)

그리고 이 때,

두 조건의 진리집합을 P, Q라 하면

P는 Q의 부분집합이 됩니다.

두 조건이 서로의 필요조건도 되고 충분조건도 될 때

필요충분조건이라고 하며

이 때는 두 조건에 대한

진리집합이 같아지게 됩니다. (P=Q)

귀류법

오늘은 어떻게 생각하면 쉬운데

또 어떻게 생각하면 아주 복잡하고

짜증도 나는(^^) 귀류법에 대하여

포스팅합니다~~!!

인강은 추후에 제작하여 올릴테니

조금만 기다려주세요~!

<<기본개념 인강>>

죄송합니다. 제작 중입니다!

아래의 루트2와 소수가 무한개 증명

강의 영상으로 학습해주세요~

루트2 증명 01강

루트2 증명 02강

<<소수가 무한개임을 증명>>

<<교재 다운로드>>

260-귀류법-학생용.pdf

<<교재 바로보기>>

◉ 귀류법

1. 정의 (돌아갈 귀, 틀릴 류, 방법 법)

-직접증명법의 적용이 가능하지 않거나 복잡할 때, 어떤 명제가 참인 것을 증명하기 위해

-그 명제의 결론을 부정한 명제를 만들고

-만들어진 명제로 인해 가정 또는 공리 등이 모순되는 것을 증명하여

-결론을 부정하기 이전의 명제가 참임을 증명하는

-간접증명 방법입니다.

-때로는 간접증명 자체를 귀류법이라고 할 때도 있습니다.

2. 수학과 자연과학에서 자주 사용됩니다.

3. 귀류법은 원명제의 결론이 분할집합이어야 합니다.

1) 결론을 부정한 명제가 거짓이므로 원명제(=원래 명제)가 참이라는 논리이므로

원명제의 결론은 반드시 분할집합 구조여야 합니다.

2) 원명제의 결론이 무리수일 때, 실수 범위에서 무리수가 아닌 수 모두 유리수이므로

분할집합 구조라 할 수 있으므로, 결론의 부정을 “유리수”라하고 귀류법 적용이 가능합니다.

3 원명제의 결론이 음수일 때, 실수 범위에서 음수의 부정은 양수 또는 영이므로 귀류법을

올바르게 사용하려면 결론의 부정을 “양수”가 아닌 “양수 또는 영”으로 설정해야 합니다.

직각삼각형의 합동조건

안녕하세요

오늘은 직각삼각형의 합동조건에 대해서

포스팅하겠습니다~

먼저, 동영상으로 보는 것을 좋아하시는 분들을 위해

동영상 강의를 먼저 올리구요~

포스팅은 아래에서 이어가겠습니다.

<<교재 다운로드>>

210-직각삼각형의 합동조건-학생용.pdf

<<강의듣기>>

"잘 보셨다면 구독하기를 꼭 눌러주세요~"

※강의 중 RHS, RHA 표기에 실수가 있었습니다.

RHA는 직각삼각형이 빗변과 한 각이 같아야하고,

RHS는 빗변과 한 변이 같은 것입니다.

이 부분을 감안하고 동영상을 이용해주세요~^^*

용어

 “최소한 영어 첫글자의 의미는 암기해야 합니다”

A 각

H 빗변

S 변

직각삼각형도 삼각형의 일종

 직각삼각형에 <삼각형의 합동조건> 적용이 가능하며,

지금 배우는 직각삼각형의 합동조건을 적용한다면,

 합동을 확인하는 것이 더욱 쉬워집니다.

삼각형의 합동조건을 복습합시다.

1. SSS 변변변

2. ASA 한 변과 양 끝각

3. SAS 두 변과 끼인 각

(실제로 S사이에 A가 끼어있으니 외우기 쉽죠~~)

RHA합동

두 직각삼각형이 R

빗변의 길이가 같고 h

나머지 한 각의 크기가 같은A

경우의 두 삼각형의 관계입니다.

RHS합동

두 직각삼각형이 R

빗변의 길이가 같고 h

나머지 한 변의 길이가 같은S

경우의 두 삼각형의 관계입니다.

합동의 활용

1단계. 두 도형이 합동임을 밝힙니다.

2단계. 밝혀지면, 두 도형의 대응변의 길이와

대응각의 크기가 같아짐을 알 수 있습니다.

두 개 이상에서 사용되는 용어 (삼각형의 합동과 닮음 등)

 VS 한 개의 도형 내에서 사용되는 용어

1. 두 개 이상에서 사용되는 용어

 1) 대응변, 대응각

 2) “응”자가 있습니다.

2. 한 개의 도형 내에서 사용되는 용어

 1) 대변, 대각

 2) “응”자가 없습니다.

직각삼각형의 합동이 숨겨진 대표적인 그림들

이 내용은 위의 동영상 강의

뒷 부분을 이용해주세요~

글로는 설명이 힘들어요~ ^^*

자~ 그럼 우리 학생들

지루하더라도 힘내서 열공하시구요~

다음 시간에 또 만날게요~

복원추출과 비복원추출 (중등확률)

(연속하여 뽑는 경우의 확률)

안녕하세요~

오늘은 복원추출과 비복원추출에 대해서

블로깅하겠습니다.

(강의 영상은 아래쪽에 있습니다~)

복원추출과 비복원추출은

교과서나 문제집에 따라서

연속하여 뽑는 경우의 확률이라는

단원으로 되어 있기도 하나...

어떤 제목을 사용했던지

"개념은 완전히 똑같기 때문에"

용어차이에 너무 신경쓰지

않으셔도 되겠습니다.

쉬운 예를 들어서

개념을 이해해보겠습니다.

상자 안에 검은공 2개와 흰공 3개가 있는데

하나씩 두 번 공을 꺼낼 때, 두 번 다 흰공이 나올 확률이 뭐냐???

라고 질문한다면....

학생들은 이렇게 반문해야합니다.

"앞전에 뽑았던 것을 다시 넣고 뽑는 상황인가요?

아니면 이미 뽑은 것은 밖에 두고 안에 남은 것만으로 뽑는 상황인가요?"

(1) 비복원추출

뽑았던 것을 밖에 놔두고 뽑는 경우를

원상태로 돌려놓지 않고(비복원) 뽑는다(추출)고 하여

비복원 추출이라고 하고

이 때는 확률이 3/5 * 3/5입니다.

(2) 복원추출

뽑았던 것을 넣어서

최초에 뽑을 때와 같은 상황(검2흰3)으로 만든 다음에

뽑는 것을 원상태로 돌려놓고(복원) 뽑는다(추출)이라고 하여

복원 추출이라고 합니다.

이 때는 확률이 3/5 * 2/4 입니다.

물론, 두 번 연속해서 뽑는 경우가 아닌

세번 네번 뽑는 경우에도 확률을 구할 수 있습니다.

같은 원리를 적용하여

여러 번 확률을 곱해가면 되거든요.

자세한 내용은

아래 강의를 들으시면서

공부하세요~

(교재가 없어도

충분히 이해할 수 있어요.

하지만, 아래쪽에 pdf교재 파일을

다운로드 받을 수 있게

첨부해두었어요)

160-복원 추출과 비복원 추출 (연속하여 뽑는 경우의 확률)-학생용.pdf

문제풀이 연습은

아무 문제집을 가지고

같은 단원을 펼치셔서 연습하시면 됩니다.

그럼 우리 학생들 조금 지루하다는 생각이 들더라도

내 미래를 준비하기 위한 거야~!!!! 라는

긍정적인 마인드로 열공하시길 바랍니다!!!!

화이팅`~~~~!!!!!!!

복원추출과 비복원추출 (중등확률) 2018년 강의듣기

명제 p이면 q이다 2018년

오늘은 명제 p이면 q이다...에 대해

포스팅하겠습니다.

(강의 영상은 글 아래쪽에 있습니다.

교재는 강의  조금 위쪽에

필요한 학생들을 위해 첨부하였으나

교재가 없어도 강의를 이해하는데

전혀 지장이 없습니다)

명제는 두 조건이

결합되어 만들어 집니다.

예를 들어

9의 약수이면 3의 약수이다

라는 문장은

9의 약수 라는 조건과

3의 약수 라는 조건이

"이면"을 중심으로 결합하여 만들어졌습니다.

9의 약수라는 조건을 p라하고

3의 약수라는 조건을 q라하면

p이면 q이다라고 표현될 수 있고

이것이 바로 하나의 "명제"가 되는 것입니다.

p이면 q이다 라는 명제는 기호로

p → q 라고 나타냅니다.

명제를 만드는 두 조건은

각각의 조건을 만족시키는 원소들을 모든

집합으로도 표현할 수 있는데

이것을 각 조건에 대한 진리집합이라 하며

명제는 소문자로

진리집합은 집합에서처럼 대문자로 나타내어

일반적으로

조건 p에 대한 진리집합은 집합P,

조건 q에 대한 진리집합은 집합Q로 

나타냅니다.

어떤 명제가 참일 때

p → q 에서 화살표 가로줄을 두개를 긋습니다.

거짓일 때는 화살표의 가로 두 선 위에 사선을 그어

거짓명제임을 나타냅니다.

참일 때는

화살표의 시작인 쪽의 원소들의 목록이 모조리 다!!!

끝나는 쪽의 원소들의 목록에 있어야 하기에

부분집합 관계가 나타나게 됩니다.

p → q 일 때, 이 명제가 참이면

진리집합P는 진리집합Q의 부분집합입니다.

반면에, 이 명제가 거짓이면 부분집합이 아닙니다.

교재 무료 다운로드~! ~~~ @@@@@

220-명제 p이면 q이다-학생용.pdf

자세한 내용은 아래의 내용을 참조하여 공부하시기 바랍니다.

명제 p이면 q이다 기본개념 2018년 강의

명제 p이면 q이다 필수유형01,11,21번 풀이 2018년

명제와 조건의 부정

오늘은

명제와 조건의 부정에 대해서

포스팅하겠습니다~!!!

명제와 조건의 부정에서

"부정"이라는 단어는 정확히 무슨 의미일까요?

이것이 오늘 수업의 핵심입니다~!!!!

어떤 조건이나 명제를 p라고 했을 때,

이것에 대한 부정의 표기는

한국어로는

p가 아니다

영어로는

not P

수학언어로는

~p

입니다.

그런데, "부정"이라는 말의 의미를

"반대의 것"이라는 의미로 생각하면

엄청난 혼돈을 가져옵니다.

예를 들어, 음수(음의 실수)의 반대의 것은 양수입니다.

그런데, "음수"의 부정은 안타깝게도

1. 복소수의 범위에서는 "양수와 영과 허수"이고

2. 실수의 범위에서는 "양수와 영"

입니다.

그렇다면

어떻게 생각하면 

우리 학생들의 혼돈을 예방할 수 있을까요?

그 비법은 바로

부정을

"반대의 것"이 아닌

"p가 아닌 모든 것"이라고

생각의 틀을 고정시키고

문제를 풀이

이 생각의 틀을 연습하는 것입니다.

상세한 내용은 아래의 강의를 참조하시고

포스팅을 잘 이용하셨다면

주변에 추천과 "좋아요", "공감", "유트브 응원댓글" 등을

부탁드립니다~~~^^

<<명제와 조건의 부정 2018년 강의 보기>>

집합을 이용한 다양한 수학적 표현

<<강의듣기>>

강의를 위한 교재는

끝 맨 끝에 PDF 파일로첨부해두었으니

출력하여 사용하시기 바랍니다.

(인쇄하실 때 프린터 설정으로 들어가셔서

레이아웃에서 방향은 가로

페이지 형식은 한면에 인쇄할 페이지 수를 2로

설정하셔야 알맞은 크기로 출력되니 참고하세요~)

01강

02강

오늘은 집합을 이용한 다양한 수학적 표현에 대해서

포스팅 해볼게요~~

예전에는 집합이라는 단원이

고등수학의 맨 앞 단원이었습니다

그러다 보니 집합을 배운 후의 단원들의

응용문제 마다 집합을 활용하여

변별력을 높이는데 (학생들 입장에서는 짜증나는 문제 만드는데)

사용하였었죠.

그런데, 교과과정이 개편되면서

집합이라는 단원이

고등학교 1학년 2학기 수학의

시작 단원이 되었습니다

"와~ 잘 됐다!!"

그래도 우리는 집합이라는 단원이

앞의 부등식, 방정식, 좌표평면 등과 엉켜서

짜증나는 문제가 적게

1학기를 보낼 수 있었구나~~~

라는 의견을 가진 학생들도 있겠으나~~ Bu~~~~~~t !!!

제 생각에는 집합단원 앞쪽의 개념이

집합단원의 개념과 응용되어

한 번에 우르르르~~~~ 변별력문제가 

쏟아져나오는 형태가 되기 때문에

오히려 더 어려운 상황일 수도 있다고 생각합니다.

하지만, 수학이란~~~

기본개념을 탄탄히 배우고

곰곰히 생각하며

다양한 유형을 풀어본다면~~~

누구나 잘 할 수 있는 과목이기에

모든 학생들에게 이렇게 말하고 싶군요

"Cheer up~~~!!!!"

집합의 다양한 표현법에 대해

정리한 강의를 올리니

모든 학생들 힘내시고요~

이강의를 잘 활용하셔서

아무쪼록 수학실력이

쑥쑥~~ 향상되시길 바랍니다~!!!

<<강의교재 무료 다운로드>>

150-집합을 이용한 다양한 수학적 표현-학생용.pdf

곱의 법칙에 의한 확률 (중등)

안녕하세요~

오늘은 곱의 법칙을 이용한 확률을

구하는 방법을 배워보겠습니다~

곱의 법칙이 뭐였더라?

사건 A와 B가 동시에 일어날 때 곱의 법칙을 쓴다고 하였는데

이때 동시에는 same time(같은 시각)이 아닌

one after another(순차적으로, 연달아)를 의미한다고

하였던 것 기억나시죠?

ㅎㅎㅎ 혹시라도 잊으셨다면

[강의실] 메뉴로 가셔서

곱의 법칙을 복습하고 여기로 돌아오셔요^^*

곱의 법칙으로 확률을 구하는 방법은

두~~~~ 가지!!!!

((방법1))

전체 경우의 수를 분모로 하고

"문제에서 지시한 경우의 수"를 곱의 법칙으로 구해

분자로 처리해서 구해도 되구요

((방법2))

순차적으로 일어나는 두 사건의

확률을 각각 구해서

그 두 사건의 확률을 곱해서 구할 수도 있어요

((결론))

결론적으로는 일일이 힘들게 세는 방식인

방법1을 고수하자는 것이 아니라 !!!!!

원리를 이용하여 더 간단하게 풀 수 있는

방법2를 배워서 활용하자는 것이예요~~~ !!!!!

((심화))

참고로 두 사건이 아닌

세 사건이 동시에(=순차적으로=연달아) 일어나는 경우에는

세 사건이 일어날 확률을 각각 곱해도 괜찮아요~~

그런데, 이건 대부분의 학교에서

시험에 출제하지는 않아요~~~

(그래도 간단하니까 이왕이면 알고 있는 것도 나름 꿀잼이겠죠~~)

그럼, 포스팅은 여기까지 하구요

자세한 내용에 대한 설명은

아래의 강의를 통해 들어보세요~~

아~~!!! 강의 아래쪽에 보면

첨부파일로 교재를 무료로 올려두었으니~~~

출력하셔서 공부하시는데 활용하세요

(인쇄하실 때 프린터 설정으로 들어가셔서

레이아웃에서 방향은 가로

페이지 형식은 한면에 인쇄할 페이지 수를 2로

설정하셔야 알맞은 크기로 출력되니 참고하세요~)

<<개념 강의 보기>>

<<필수유형 01-03번 풀이 >>

<<필수유형11-13번풀이>>

<<교재 무료 다운로드>>

155-곱의 법칙에 의한 확률-학생용.pdf

이것으로

곱에 법칙에 의한 확률 구하기 (중학교 수준)에

대한 포스팅을 마치겠습니다~~~

다음 강의에서 만나요~~~

빠이빠이~~~~!